Un risultato di misura acquista significato quando sappiamo quali alternative lo strumento distingue. Registrare il segno di una grandezza, il suo valore completo o soltanto se quel valore è nullo significa conservare informazioni differenti. Prima di introdurre gli operatori, conviene fermarsi su questa scelta: quali differenze fra gli esiti vogliamo mantenere nella descrizione?
Tre risultati, due modi di registrarli
Costruiamo un esempio ideale con tre risultati possibili, espressi in unità fissate: −1, 0 e +1. Per una certa preparazione assegniamo loro probabilità rispettivamente pari a 1/5, 1/2 e 3/10. La somma è uno. Sono numeri scelti per il ragionamento, non dati raccolti in laboratorio.
Possiamo conservare ciascun valore oppure decidere di registrare soltanto il suo quadrato. Nel secondo registro, tanto −1 quanto +1 diventano 1, mentre 0 rimane 0. Le due categorie finali hanno la stessa probabilità: il risultato 0 pesa 1/2; il risultato 1 pesa 1/5 + 3/10 = 1/2.
Il registro abbreviato risponde ancora a una domanda precisa: il valore iniziale era nullo oppure diverso da zero? Ha però perso la distinzione fra positivo e negativo. Se possediamo soltanto le frequenze delle due categorie, non possiamo ricostruire come si ripartisse la probabilità fra −1 e +1.
Per esempio, anche le probabilità 2/5, 1/2 e 1/10 produrrebbero lo stesso registro abbreviato. La coincidenza fra due grafici a due colonne non dimostrerebbe quindi che le preparazioni erano identiche. Mostrerebbe soltanto che quella classificazione degli esiti non riesce a distinguerle.
Rietichettare e raggruppare
Non ogni cambiamento dei numeri perde informazione. Se sostituiamo −1, 0 e +1 con 10, 20 e 30, mantenendo nota la corrispondenza, ogni risultato rimane riconoscibile. Possiamo tornare alle etichette iniziali senza ambiguità. I valori medi cambiano, ma le tre categorie restano separate.
Elevare al quadrato funziona diversamente nel nostro esempio: due valori distinti ricevono la stessa etichetta. È un raggruppamento degli esiti, spesso chiamato coarse-graining. Per calcolare la probabilità di una categoria si sommano quelle degli esiti che vi confluiscono. Questa operazione appartiene già alla teoria ordinaria della probabilità; non è, da sola, un effetto quantistico.
La distinzione evita un equivoco concreto. Un archivio con meno valori diversi può derivare da una scelta di registrazione. Il numero di categorie mostrate non basta a stabilire quali alternative fossero distinguibili dal modello o dall'apparato prima del raggruppamento.
Dove entra l'osservabile
Nel formalismo quantistico, la trasformazione dei valori si esprime attraverso una funzione dell'operatore. Se A rappresenta l'osservabile con esiti −1, 0 e +1, l'operatore B = A² rappresenta, in questo esempio finito, l'osservabile con valori 0 e 1. Le due direzioni associate a −1 e +1 appartengono ora allo stesso autospazio di B. Il risultato 1 non le distingue più.
Questo è un caso di degenerazione: un medesimo autovalore corrisponde a più direzioni indipendenti nello spazio degli stati. Non significa che lo strumento abbia necessariamente commesso un errore. Significa che la domanda descritta da B conserva meno distinzioni di quella descritta da A. Il collegamento fra A e le sue funzioni è formalizzato dalla decomposizione spettrale, che studieremo nei capitoli successivi.
L'operatore permette dunque di precisare la struttura delle alternative, prima ancora di svolgere un calcolo particolare. Le probabilità dipendono anche dallo stato preparato. Nel nostro esempio abbiamo fissato direttamente i loro valori per isolare il problema della registrazione.
Dimenticare un risultato non equivale a non distinguerlo
Fin qui abbiamo confrontato elenchi e probabilità. Per prevedere una seconda misura occorre specificare anche che cosa accade al sistema durante la prima. La stessa distribuzione dei risultati può accompagnarsi a trasformazioni differenti dello stato: il modello della misura deve descrivere entrambe.
Consideriamo due procedure ideali. La prima distingue tutti e tre gli esiti di A e successivamente cancella dal registro il segno. La seconda misura direttamente B con la regola proiettiva di Lüders, distinguendo soltanto il sottospazio del valore zero da quello del valore uno. Per la stessa preparazione iniziale, entrambe producono le probabilità appena calcolate per 0 e 1.
Non sono però intercambiabili in ogni esperimento successivo. Se la preparazione contiene coerenza fra le componenti associate a −1 e +1, la misura ideale di A la elimina fra quei settori. Cancellare in seguito il segno dal registro non la ripristina. La misura ideale di Lüders di B può invece conservarla all'interno del sottospazio del risultato 1. Una successiva misura adatta può rivelare la differenza.
Il confronto è una conseguenza dei due modelli ideali specificati, non una descrizione universale degli strumenti reali. Mostra perché «quali risultati ottengo?» e «quale stato preparo dopo averli ottenuti?» richiedono risposte distinte.
Una premessa ai quattro passaggi successivi
Il percorso sugli operatori partirà da queste distinzioni. Gli operatori lineari forniranno le regole matematiche d'azione sugli stati. Autovalori e autostati chiariranno quali esiti e quali sottospazi un'osservabile distingue. La misura come proiezione preciserà le ipotesi necessarie per descrivere lo stato successivo. Lo spettro discreto e continuo estenderà il ragionamento oltre un elenco finito di alternative.
Anche nel continuo è utile separare l'osservabile dalle categorie del registro: un intervallo può raccogliere più valori senza trasformare lo spettro sottostante in un insieme discreto. La risoluzione della registrazione appartiene alla descrizione dell'esperimento e non si legge dal solo numero di cifre sullo schermo.
Entriamo così nello studio degli operatori con un criterio operativo: individuare le alternative mantenute distinte, riconoscere quelle raggruppate e dichiarare la regola usata per il sistema dopo la misura. Le formule successive daranno precisione a queste scelte.