![Su una lavagna scura sono scritte la definizione [A, B] = AB − BA e la relazione di indeterminazione di Robertson.](https://www.astroevolution.net/content/uploads/img_main_1792947075_e0cf8a35.png)
Il commutatore permette di porre una domanda precisa: due operatori producono lo stesso risultato quando ne scambiamo l’ordine? In meccanica quantistica la risposta si collega alle dispersioni dei risultati possibili in uno stato. Per capire questo collegamento occorre distinguere tre oggetti: il prodotto degli operatori, la distribuzione degli esiti e l’errore di uno strumento.
Che cosa confronta il commutatore
Per due operatori A e B definiamo:
[A, B] = AB − BA.
Il prodotto AB agisce sul vettore di stato applicando prima B e poi A: AB|ψ⟩ = A(B|ψ⟩). BA inverte questa successione. Il commutatore è a sua volta un operatore, non un numero: confronta le due composizioni sul medesimo vettore iniziale. Dire che [A, B] = 0 significa che coincidono su tutti i vettori del dominio considerato. Una coincidenza su un solo vettore non basta.
Questa definizione non identifica automaticamente AB con la procedura «misura B e poi misura A». Gli operatori delle osservabili e gli operatori che descrivono l’aggiornamento durante una misura svolgono ruoli differenti. Per prevedere gli esiti di due misure successive serve anche il modello della misura. Il commutatore delle osservabili descrive anzitutto una relazione algebrica.
Il termine che compare scambiando posizione e impulso
Consideriamo una particella sulla retta. Nella rappresentazione delle posizioni, x indica sia la coordinata sia, quando agisce su una funzione, l’operatore che moltiplica per quella coordinata. L’operatore della quantità di moto è p = −iℏ d/dx, dove i è l’unità immaginaria e ℏ = h/(2π).
Scegliamo una funzione ψ sufficientemente regolare e rapidamente decrescente, così che le operazioni seguenti siano definite. Per esempio possiamo lavorare nello spazio di Schwartz, formato da funzioni lisce che, insieme alle loro derivate, decadono più rapidamente di qualunque potenza inversa di |x|. Calcoliamo separatamente:
xpψ = −iℏxψ′;
pxψ = −iℏ(xψ)′ = −iℏ(ψ + xψ′).
Il simbolo ψ′ indica la derivata rispetto a x. La differenza nasce dalla regola di derivazione di un prodotto: nella seconda riga viene derivato anche il fattore x. Sottraendo le due espressioni resta:
[x, p]ψ = iℏψ, dunque [x, p] = iℏI sul dominio scelto.
I è l’identità. Nessun errore di lettura è stato introdotto nel calcolo. La rappresentazione degli operatori è un ingrediente del modello quantistico; la loro relazione di commutazione segue qui dalla sua forma matematica. In dimensione infinita i domini fanno parte della definizione degli operatori: la formula non autorizza a applicare prodotti e derivate a qualunque funzione.
La dispersione appartiene alla distribuzione
Fissiamo uno stato normalizzato |ψ⟩. Il valore atteso di A è ⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩. La sua deviazione standard, indicata con ΔA, è definita da:
(ΔA)2 = ⟨A2⟩ − ⟨A⟩2.
Questa quantità descrive quanto sono dispersi gli esiti previsti attorno alla media. Per confrontare ΔA e ΔB si possono usare due insiemi di sistemi preparati nello stesso stato, misurando A sul primo e B sul secondo. Non è necessario misurare entrambe le grandezze sullo stesso esemplare in successione.
Un apparato ideale può quindi registrare senza errore ciascun esito e ottenere comunque una distribuzione con deviazione standard non nulla. Anche lo stato di preparazione può essere puro: la dispersione non richiede una miscela dovuta alla mancata conoscenza di quale stato puro sia stato preparato. Rumore tecnico e preparazione imperfetta richiedono una descrizione ulteriore.
Da una disuguaglianza geometrica al limite di Robertson
Il passaggio decisivo utilizza la disuguaglianza di Cauchy–Schwarz: il modulo del prodotto interno di due vettori non supera il prodotto delle loro norme. Per osservabili autoaggiunte A e B, definiamo i vettori delle fluttuazioni:
|f⟩ = (A − ⟨A⟩I)|ψ⟩;
|g⟩ = (B − ⟨B⟩I)|ψ⟩.
Le loro norme sono rispettivamente ΔA e ΔB. Cauchy–Schwarz impone quindi ΔA ΔB ≥ |⟨f|g⟩|. Inoltre, il modulo di un numero complesso è almeno grande quanto il valore assoluto della sua parte immaginaria. Quando lo stato appartiene ai domini dei prodotti necessari e ha momenti secondi finiti, si ottiene:
Im⟨f|g⟩ = ⟨[A, B]⟩/(2i),
ΔA ΔB ≥ ½ |⟨[A, B]⟩|.
È la relazione di Robertson. A sinistra compaiono dispersioni nello stato fissato; a destra compare il modulo del valore atteso del commutatore nello stesso stato. Il vincolo segue dalla geometria dello spazio degli stati e dall’algebra delle osservabili. Per ricavarlo non abbiamo modellato un urto fra sonda e particella.
Perché posizione e impulso danno un limite costante
Nel caso appena calcolato, ⟨[x, p]⟩ = ⟨iℏI⟩ = iℏ, perché lo stato è normalizzato. Segue:
Δx Δp ≥ ℏ/2.
Qui il limite inferiore è lo stesso per tutti gli stati ai quali si applicano le ipotesi. La relazione non prescrive due dispersioni uguali: si può ridurre Δx aumentando Δp, oppure il contrario. Nemmeno impone che il prodotto valga sempre esattamente ℏ/2; l’uguaglianza richiede preparazioni particolari.
Per una coppia generica il secondo membro dipende invece dallo stato. Un commutatore non nullo può avere valore atteso nullo in una certa preparazione. In quel caso questa disuguaglianza dà soltanto il limite zero: non dimostra che gli operatori commutino e non garantisce che entrambe le dispersioni possano annullarsi. La sola scritta [A, B] ≠ 0 non fornisce un limite strettamente positivo identico per tutti gli stati.
Che cosa significa escludere l’ignoranza sperimentale
Migliorare la calibrazione o raccogliere più dati consente di stimare meglio la distribuzione. Non elimina il vincolo che il modello impone alle sue dispersioni. L’indeterminazione di preparazione riguarda quali distribuzioni possono appartenere allo stesso stato, anche quando quello stato è specificato completamente nel formalismo.
Le relazioni fra errore di misura e disturbo introdotto dall’apparato rispondono a un’altra domanda e richiedono definizioni operative proprie. Non si possono ottenere sostituendo automaticamente Δx e Δp con «errore dello strumento» e «calcio ricevuto».
Il risultato ha anche un confine interpretativo: Robertson, da solo, non dimostra che ogni possibile teoria a variabili nascoste sia esclusa. Stabilisce un vincolo sulle previsioni quantistiche; il significato ontologico dello stato richiede argomenti ulteriori.
Il percorso sui commutatori parte così da un confronto fra composizioni e arriva a una restrizione quantitativa sulle preparazioni. Nei sistemi a dimensione finita, osservabili autoaggiunte che commutano ammettono una base comune di autostati, ma uno stato generico può comunque avere dispersioni non nulle. La compatibilità riguarda la possibilità di una descrizione comune degli esiti, non la promessa che ogni preparazione renda tutto determinato.