Un operatore lineare può essere costruito specificando che cosa fa ai vettori di una base. Questa regola permette di calcolarne l'azione su ogni loro combinazione, ma non basta a stabilire che rappresenti un'osservabile o un'evoluzione fisica. Per capire la distinzione partiamo da un calcolo a due dimensioni.
Una regola sui vettori di base
Fissiamo una base ortonormale {|0⟩, |1⟩} e costruiamo un esempio scegliendo liberamente i coefficienti 1, i, 2 e −1. Questi valori definiscono l'operatore A: non derivano dalla linearità né da una legge fisica. In particolare, il 2 è il coefficiente di |0⟩ nell'immagine scelta per |1⟩; scegliendo un altro numero otterremmo un operatore diverso. Definiamo quindi l'azione di A sui vettori di base:
A|0⟩ = |0⟩ + i|1⟩; A|1⟩ = 2|0⟩ − |1⟩.
Le due espressioni sono scelte per questo esempio didattico: non descrivono dati raccolti né un dispositivo identificato. Se A è lineare, per un vettore |v⟩=a|0⟩+b|1⟩, con a e b complessi, deve valere:
A|v⟩ = aA|0⟩ + bA|1⟩ = (a + 2b)|0⟩ + (ia − b)|1⟩.
Conoscere l'azione sui due vettori di base consente così di conoscere l'azione su tutto lo spazio. La parola «lineare» esprime precisamente questa compatibilità fra applicare l'operatore e combinare i vettori. La proprietà riguarda le ampiezze; non afferma che le probabilità si trasformino mediante la stessa somma.
La definizione comprende gli scalari complessi
Un operatore A è lineare sullo spazio complesso considerato se, per tutti i vettori u e v del suo dominio e tutti gli scalari complessi α e β,
A(αu + βv) = αAu + βAv.
La formula riunisce additività e omogeneità. Implica A0=0: un operatore lineare manda il vettore nullo nel vettore nullo. Per questo una regola F(v)=Av+w, con w fisso non nullo, è affine e non lineare, dato che F(0)=w.
È essenziale controllare anche i coefficienti complessi. Definiamo, nella base fissata, C(a|0⟩+b|1⟩)=a*|0⟩+b*|1⟩, dove l'asterisco indica il coniugato. C conserva le somme, ma C(i|0⟩)=−i|0⟩, mentre iC(|0⟩)=i|0⟩. Non è quindi lineare su ℂ: è antilineare. Un controllo eseguito soltanto con coefficienti reali non rivelerebbe la differenza.
Costruire la matrice dalle colonne
Nella base scelta, le coordinate di A|0⟩ sono (1,i), quelle di A|1⟩ sono (2,−1). Le disponiamo come prima e seconda colonna:
A = ((1, 2), (i, −1)); A(a, b)ᵀ = (a + 2b, ia − b)ᵀ.
La colonna j contiene le coordinate dell'immagine del vettore j di base. Scambiare colonne e righe definirebbe generalmente un'altra azione. Qui possiamo verificarlo direttamente: applicando la matrice alla colonna (1,0) recuperiamo (1,i), come richiesto.
Per |v⟩=|0⟩+2i|1⟩ il risultato è:
A|v⟩ = (1 + 4i)|0⟩ − i|1⟩.
Il procedimento restituisce lo stesso risultato sia applicando la matrice sia combinando le due immagini iniziali. Questo è un controllo algebrico della rappresentazione; non è una misura sperimentale. La dipendenza della matrice dalla base è già discussa nel capitolo sullo spazio di Hilbert: qui interessa imparare a costruirla e a controllarne le colonne.
Un test che controlla la regola completa
Conoscere l'immagine dei vettori di base basta solo dopo aver stabilito la linearità. Una regola arbitraria può coincidere con un operatore lineare sulla base e comportarsi diversamente sugli altri vettori.
Consideriamo F(a|0⟩+b|1⟩)=a|0⟩+b|1⟩+ab|0⟩. Sui due vettori di base otteniamo F(|0⟩)=|0⟩ e F(|1⟩)=|1⟩: sembrerebbe l'identità. Ma F(|0⟩+|1⟩)=2|0⟩+|1⟩, mentre F(|0⟩)+F(|1⟩)=|0⟩+|1⟩. Il termine ab rivela che F non è additiva. La regola generale, non un elenco di risultati favorevoli, decide la linearità.
Il controllo F(0)=0 è quindi necessario ma non sufficiente: questo controesempio lo supera. Anche pochi test numerici riusciti non dimostrano una proprietà universale. Per una regola definita da una formula, occorre calcolare simbolicamente F(αu+βv) e verificare l'uguaglianza per coefficienti e vettori arbitrari.
Il nucleo indica quali vettori vengono annullati
Una seconda domanda, diversa dalla linearità, è se l'azione possa essere invertita. Il nucleo di A è l'insieme dei vettori v per cui Av=0. Qui lo zero indica un vettore matematico, che non rappresenta uno stato puro fisico.
Per la nostra A, la condizione impone a+2b=0 e ia−b=0. Dalla prima segue a=−2b; sostituendo nella seconda otteniamo (−2i−1)b=0. Dunque b=0 e a=0. Il nucleo contiene soltanto il vettore nullo.
Questo risultato permette di dimostrare che due ingressi diversi non producono la stessa uscita: se Au=Av, per linearità A(u−v)=0; poiché il nucleo è nullo, u=v. In uno spazio finito, quando ingresso e uscita hanno la stessa dimensione, questa proprietà garantisce l'esistenza dell'inversa.
Possiamo ricostruire esplicitamente l'ingresso. Se A(a,b)=(r,s), le equazioni r=a+2b e s=ia−b danno:
a = (r + 2s)/(1 + 2i); b = (ir − s)/(1 + 2i).
Per l'uscita già ottenuta, r=1+4i e s=−i, ritroviamo a=1 e b=2i. Abbiamo invertito la regola algebrica senza attribuirle un processo fisico.
Un operatore lineare può anche non essere invertibile. Definiamo R|0⟩=|0⟩ e R|1⟩=|0⟩. Allora R(a|0⟩+b|1⟩)=(a+b)|0⟩ e R(|0⟩−|1⟩)=0. Il suo nucleo comprende tutti i multipli di |0⟩−|1⟩: l'uscita non conserva separatamente a e b. È un esempio algebrico; non rappresenta, da solo, un dispositivo che converta deterministicamente qualunque stato puro in un altro.
Il ruolo fisico richiede condizioni ulteriori
La linearità non identifica un'osservabile e non garantisce un'evoluzione fisica. Per la A scelta nell'esempio, gli elementi fuori diagonale 2 e i non sono complessi coniugati: A non è autoaggiunta e non è l'operatore di un'osservabile ideale. Inoltre A|0⟩ ha norma √2, quindi A non è unitaria. Sono controlli sul nuovo esempio, non nuove definizioni di proprietà già affrontate nel corso.
L'invertibilità algebrica appena dimostrata non modifica questi risultati. Una regola può essere invertibile senza conservare le norme. La formula A|ψ⟩ restituisce un vettore; non indica automaticamente né un numero misurato né lo stato preparato dopo una misura. Per assegnare uno di questi significati occorre specificare il modello fisico appropriato.
Il perimetro del calcolo
Abbiamo lavorato in uno spazio finito a due dimensioni, dove le matrici considerate agiscono su ogni vettore. In dimensione infinita occorre indicare A:D(A)→H e verificare che le operazioni siano definite sui vettori usati. Questo requisito, già introdotto nel capitolo sullo spazio di Hilbert, accompagna anche somme e composizioni; non viene sostituito dall'identità formale di linearità.
Gli esempi sono costruiti e i risultati sono deduzioni matematiche. Non presentano prove empiriche della linearità della natura. Un'applicazione fisica deve specificare preparazione, trasformazione, misura e incertezze, quindi confrontare le previsioni con dati indipendenti. Un controllo riuscito su alcuni vettori, inoltre, non dimostra che una regola sconosciuta sia lineare su tutto lo spazio.
Il passo acquisito è operativo: descrivere un operatore significa indicarne l'azione, costruire la rappresentazione appropriata e controllare le proprietà richieste dal ruolo fisico. La linearità organizza il calcolo; autoaggiuntezza e unitarietà aggiungono vincoli distinti. Su questa base si può passare ad autovalori e autostati senza confondere l'azione su un vettore con un risultato di misura.
Prova l’operatore lineare
Inserisci le parti reali e immaginarie di a e b nel vettore a|0⟩ + b|1⟩.
A|0⟩ = |0⟩ + i|1⟩; A|1⟩ = 2|0⟩ − |1⟩. I coefficienti definiscono l’esempio: il 2 è scelto, non ricavato dalla linearità.
Calcolo algebrico su ℂ², senza normalizzazione. Il confronto numerico illustra la regola già definita; non dimostra la linearità di una trasformazione sconosciuta. I risultati sono arrotondati a 8 cifre significative.