📌 Misura quantistica come proiezione: esito e stato

Una misura ideale non richiede soltanto una lista di valori possibili: deve consentire di calcolare che cosa prevedere dopo aver registrato uno di quei valori. La proiezione collega questi due problemi. Individua la componente dello stato associata all’esito e, attraverso la sua norma, determina il peso statistico dell’esito stesso.

Consideriamo sistemi a dimensione finita, stati inizialmente normalizzati e misure ideali descritte dalla regola di Lüders. Le formule seguenti specificano questo modello: non affermano che ogni rivelatore reale conservi il sistema o realizzi la stessa trasformazione.

Il proiettore seleziona un sottospazio

Alla misura dell’osservabile A associamo una famiglia di proiettori ortogonali Pᵢ, uno per ogni autovalore distinto aᵢ. La relazione essenziale è A = Σᵢ aᵢPᵢ. Per il calcolo della misura useremo:

Pᵢ† = Pᵢ; Pᵢ² = Pᵢ; PᵢPⱼ = 0 per i ≠ j; ΣᵢPᵢ = I.

Il simbolo † indica l’aggiunto e I l’identità. La prima condizione rende la proiezione ortogonale; la seconda esprime l’idempotenza: una componente già contenuta nel sottospazio resta invariata quando si applica nuovamente lo stesso proiettore. L’ortogonalità separa le alternative della medesima misura e la completezza assicura che esse coprano tutto lo spazio considerato.

Per un sottospazio unidimensionale generato dal vettore normalizzato |uᵢ⟩, Pᵢ = |uᵢ⟩⟨uᵢ|. L’azione sullo stato è quindi Pᵢ|ψ⟩ = |uᵢ⟩⟨uᵢ|ψ⟩: il prodotto interno fornisce il coefficiente della componente conservata. Se il sottospazio ha più dimensioni, il proiettore è la somma di questi prodotti esterni su una sua base ortonormale. La somma non dipende dalla particolare base scelta al suo interno.

Questa geometria riguarda lo spazio degli stati. Non rappresenta la traiettoria di una particella che viene spinta su un piano nello spazio ordinario.

La norma dà la probabilità; la normalizzazione dà lo stato

Dato |ψ⟩ normalizzato, la probabilità di registrare aᵢ è:

pᵢ = ⟨ψ|Pᵢ|ψ⟩ = ‖Pᵢ|ψ⟩‖².

L’uguaglianza segue da Pᵢ†Pᵢ = Pᵢ. La componente proiettata ha dunque una norma quadrata compresa fra zero e uno. Sommando sugli esiti, Σᵢpᵢ = ⟨ψ|I|ψ⟩ = 1. La probabilità non è il proiettore e non è il vettore proiettato: è un numero ricavato da entrambi, stato e proiettore.

Se l’esito aᵢ viene effettivamente ottenuto e pᵢ > 0, la regola ideale di Lüders assegna lo stato condizionato:

|ψᵢ⟩ = Pᵢ|ψ⟩ / √pᵢ.

Il denominatore serve a riportare la norma a uno. Non aumenta la probabilità di ottenere quell’esito: descrive il sottinsieme delle prove nelle quali l’esito è già stato registrato. Se pᵢ = 0, il ramo ha probabilità nulla nel modello e la formula condizionata non è definita. Dividere per zero o normalizzare il vettore nullo non crea un risultato possibile.

L’esito numerico, la componente non normalizzata e lo stato condizionato svolgono quindi tre funzioni differenti. Anche A|ψ⟩ = ΣᵢaᵢPᵢ|ψ⟩ è un oggetto diverso: non descrive una singola registrazione dell’apparato.

Un esempio completo con una fase complessa

Costruiamo un esempio didattico su una base ortonormale {|0⟩, |1⟩}. Lo stato iniziale è |ψ⟩ = (√3/2)|0⟩ + (i/2)|1⟩. La sua norma quadrata vale 3/4 + 1/4 = 1. Misuriamo l’osservabile adimensionale Z = |0⟩⟨0| − |1⟩⟨1|, con esiti +1 e −1.

I proiettori sono P₊ = |0⟩⟨0| e P₋ = |1⟩⟨1|. Nella base fissata hanno matrici P₊ = diag(1,0) e P₋ = diag(0,1). La loro azione restituisce:

P₊|ψ⟩ = (√3/2)|0⟩; P₋|ψ⟩ = (i/2)|1⟩.

Le probabilità sono p₊ = 3/4 e p₋ = 1/4. Condizionando sul risultato +1 otteniamo |ψ₊⟩ = |0⟩; condizionando sul risultato −1 otteniamo |ψ₋⟩ = i|1⟩. Quest’ultimo vettore rappresenta lo stesso stato fisico di |1⟩ perché i è qui una fase globale. Prima della misura, invece, il fattore i era una fase relativa fra due componenti.

I numeri sono scelti per illustrare il formalismo e non costituiscono dati sperimentali. In molte ripetizioni della stessa preparazione, le frequenze ideali tendono ai pesi 3/4 e 1/4; non devono coincidere esattamente con essi in ogni campione finito.

Perché una seconda misura può ripetere l’esito

Dopo l’esito aᵢ, l’idempotenza dà Pᵢ|ψᵢ⟩ = |ψᵢ⟩. Gli altri proiettori della stessa misura annullano lo stato condizionato. Una ripetizione immediata della medesima misura ideale restituisce quindi aᵢ con probabilità uno.

La conclusione richiede che il sistema resti disponibile e che fra le misure non intervengano trasformazioni capaci di portarlo fuori dal sottospazio. Se interviene un’evoluzione U, la probabilità di ritrovare aᵢ diventa ‖PᵢU|ψᵢ⟩‖². Non è necessariamente uno. Un rivelatore che assorbe un fotone, inoltre, non lascia quel fotone pronto per una seconda misura.

La ripetibilità è pertanto una previsione condizionata alle ipotesi del modello, verificabile attraverso correlazioni fra registrazioni successive. Non significa che qualsiasi misura reale sia automaticamente non distruttiva.

Due misure differenti: calcolare una storia di esiti

Sia Qⱼ il proiettore dell’esito bⱼ di una seconda osservabile. Trascurando l’evoluzione fra le due misure ideali, la probabilità condizionata e quella congiunta sono:

p(j|i) = ‖QⱼPᵢ|ψ⟩‖² / pᵢ; p(i poi j) = ‖QⱼPᵢ|ψ⟩‖².

Nella seconda espressione la probabilità della prima selezione è già incorporata. Il prodotto degli operatori si legge da destra verso sinistra: prima Pᵢ, poi Qⱼ. Invertire l’ordine richiede di ricalcolare ‖PᵢQⱼ|ψ⟩‖²; non basta scambiare le etichette nel registro.

Riprendiamo lo stato dell’esempio e aggiungiamo X = |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0|. I suoi stati associati agli esiti +1 e −1 sono |x₊⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 e |x₋⟩ = (|0⟩ − |1⟩)/√2, con proiettori Q₊ e Q₋. La misura diretta di X sullo stato iniziale assegna probabilità 1/2 a ciascun esito.

Se misuriamo prima Z e poi X, da |0⟩ come da |1⟩ la seconda misura dà 1/2 per ciascun segno. Le probabilità congiunte sono:

Se misuriamo prima X e poi Z, ciascun primo esito pesa 1/2 e ciascuno stato |x₊⟩ o |x₋⟩ produce i due esiti di Z con probabilità 1/2. Tutte e quattro le coppie hanno allora probabilità 1/4.

Questo confronto mostra anche una cautela: nel caso scelto, inserire Z prima di X non cambia la distribuzione finale di X, che resta uniforme. Inserire X prima di Z cambia invece la distribuzione finale di Z da (3/4,1/4) a (1/2,1/2). La non commutatività rende possibili differenze fra procedure; non impone che ogni distribuzione cambi per ogni stato iniziale.

Quando l’esito non viene selezionato

Se si esegue la prima misura ma si conserva l’intero insieme delle prove, il sistema successivo non è in generale rappresentabile da un unico vettore puro. Serve la matrice densità ρ. Per uno stato puro iniziale, ρ = |ψ⟩⟨ψ|. Le due descrizioni di Lüders sono:

pᵢ = Tr(Pᵢρ); ρᵢ = PᵢρPᵢ/pᵢ; ρ′ = ΣᵢPᵢρPᵢ.

Tr indica la traccia. ρᵢ descrive le prove selezionate in base all’esito i; ρ′ descrive tutte le prove dopo la misura, senza selezione. La seconda è anche la media pesata Σᵢpᵢρᵢ. Non si sommano coerentemente i vettori degli esiti alternativi come se il registro non avesse distinto nulla.

Nell’esempio, la misura non selettiva di Z produce ρ′ = (3/4)|0⟩⟨0| + (1/4)|1⟩⟨1|. La fase relativa presente nello stato iniziale non compare più nei termini fuori diagonale rispetto a questa base. Per prevedere una misura successiva si calcola Tr(Qⱼρ′), oppure si sommano le probabilità congiunte delle storie che terminano nell’esito j.

Un esito degenere può lasciare una sovrapposizione

La proiezione seleziona l’autospazio dell’esito, non necessariamente un unico vettore della base. Se Pᵢ ha rango maggiore di uno, lo stato condizionato può essere ancora una sovrapposizione di più direzioni interne. In una misura ideale di Lüders, Pᵢ agisce come identità su qualunque vettore già appartenente a quel sottospazio.

La premessa sugli osservabili ha già illustrato perché distinguere ulteriormente quelle direzioni e poi cancellare il dettaglio può modificare lo stato in un altro modo. Qui il punto operativo è che la formula usa il proiettore dell’intero autospazio: sostituirlo con un singolo prodotto |u⟩⟨u| cambierebbe la domanda misurata e le previsioni successive.

Il limite fra regola ideale e apparato fisico

Una famiglia di proiettori determina le probabilità di una misura proiettiva, ma l’aggiornamento di Lüders specifica un’ulteriore proprietà della sua realizzazione ideale. Per esempio, un apparato può registrare gli stessi esiti e aggiungere una trasformazione dipendente dall’esito. Anche una trasformazione interna a un autospazio degenere può preservare la ripetibilità e modificare lo stato: ripetibilità e regola di Lüders non sono sinonimi.

Le misure più generali si descrivono con operatori di effetto positivi e strumenti quantistici. La loro trattazione richiede un’estensione del formalismo; non è corretto chiamare proiettore qualunque operatore usato per descrivere un rivelatore. Analogamente, nello spettro continuo si proiettano insiemi di valori mediante la misura spettrale: un valore esatto di posizione non corrisponde a un normale vettore normalizzabile in L².

La regola di proiezione non costituisce da sola una spiegazione microscopica dell’apparato né risolve la questione interpretativa della comparsa di un esito. Fornisce una prescrizione operativa: fissare le alternative, calcolare i loro pesi, condizionare sul risultato e prevedere la misura successiva. Le condizioni fisiche che permettono di applicarla devono essere controllate sperimentalmente.

Che cosa verificare in un esperimento

Un controllo utile confronta sia le frequenze della prima misura sia le correlazioni con una seconda. Due dispositivi possono produrre gli stessi primi conteggi e lasciare stati differenti. Nel nostro modello, il confronto fra le tabelle delle due sequenze e la ripetizione immediata di Z sono previsioni distinte, non una sola verifica della normalizzazione.

In laboratorio occorre quantificare errori di lettura, preparazione, evoluzione fra gli impulsi, perdita del sistema e criteri di selezione. Scartare eventi senza dichiararlo può alterare le frequenze condizionate. Una discrepanza riproducibile mette prima alla prova il modello dell’esperimento, incluse le sue idealizzazioni; non dimostra automaticamente il fallimento dell’intera meccanica quantistica.

Il significato preciso della misura come proiezione è così il passaggio dalla componente Pᵢ|ψ⟩, che porta il peso dell’esito, allo stato normalizzato che consente di formulare nuove previsioni. La geometria del proiettore, la probabilità della registrazione e la trasformazione fisica dell’apparato vanno mantenute distinguibili in ogni calcolo.