📌 Non-commutatività: quando l’ordine cambia lo stato

Due controlli possono essere regolati nello stesso modo e applicati allo stesso sistema, ma preparare stati diversi quando ne invertiamo la successione. Per studiare questa dipendenza dall’ordine occorre seguire le trasformazioni fino a una previsione misurabile: la differenza fra due prodotti di matrici, da sola, non dice ancora quale esperimento distinguerà i risultati.

Dall’algebra a una sequenza fisica

Il commutatore confronta le composizioni: [A, B] = AB − BA. Richiamiamo soltanto la convenzione necessaria: in AB agisce prima B e poi A. Qui approfondiamo la non-commutatività attraverso trasformazioni coerenti di un sistema a due livelli, senza ripercorrere la derivazione delle relazioni di indeterminazione.

Una trasformazione coerente ideale è descritta da un operatore unitario U: conserva la norma e può modificare le ampiezze dello stato senza selezionare un esito. Due operazioni U e V, eseguite nelle successioni opposte, producono VU|ψ⟩ e UV|ψ⟩. Fra le due operazioni non inseriamo misure. Questo distingue il problema dal confronto fra misurazioni successive, che richiede anche la descrizione dell’aggiornamento dello stato.

Due operazioni definite senza ambiguità

Fissiamo una base ortonormale {|0⟩, |1⟩}. I simboli 0 e 1 identificano due stati distinguibili del sistema; non rappresentano necessariamente due posizioni nello spazio. Definiamo le operazioni H e Z mediante la loro azione:

H|0⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 = |+⟩;
H|1⟩ = (|0⟩ − |1⟩)/√2 = |−⟩.

Z|0⟩ = |0⟩;
Z|1⟩ = −|1⟩.

H è la trasformazione di Hadamard. Z cambia il segno della componente lungo |1⟩. Entrambe sono unitarie e soddisfano H² = Z² = I. La lettera Z può anche indicare un’osservabile con autovalori ±1: in queste sequenze utilizziamo esplicitamente Z come operazione unitaria, senza registrare alcun risultato intermedio.

Il calcolo nei due ordini

Prepariamo sempre |0⟩. Nella prima sequenza applichiamo H e poi Z. Nella seconda applichiamo Z e poi H:

Prima H, poi Z: ZH|0⟩ = Z|+⟩ = |−⟩.
Prima Z, poi H: HZ|0⟩ = H|0⟩ = |+⟩.

Abbiamo mantenuto la preparazione iniziale e le due operazioni; cambia soltanto il loro ordine. I risultati sono ortogonali, perché ⟨+|−⟩ = 0. Il commutatore agisce infatti sullo stato iniziale come:

[Z, H]|0⟩ = |−⟩ − |+⟩ = −√2 |1⟩.

Quest’ultimo vettore è una differenza algebrica, non uno stato finale da normalizzare per ricavare le probabilità delle due sequenze. Gli stati fisici da confrontare rimangono |−⟩ e |+⟩, ciascuno già normalizzato.

Una lettura può nascondere la differenza

Se misuriamo subito nella base {|0⟩, |1⟩}, entrambe le sequenze restituiscono le stesse probabilità: 1/2 per ciascun esito. I due stati hanno uguali moduli delle ampiezze; differiscono per il segno relativo. Una misura in questa base non distingue quel segno.

Possiamo però applicare un’ulteriore H, identica nei due esperimenti, prima della lettura finale. Poiché H|+⟩ = |0⟩ e H|−⟩ = |1⟩, otteniamo:

H → Z → H: esito 1 con probabilità 1.
Z → H → H: esito 0 con probabilità 1.

Le frecce indicano qui l’ordine temporale, da sinistra a destra. Le probabilità valgono per il modello ideale specificato. In un apparato reale, errori di preparazione, controllo e lettura devono essere caratterizzati separatamente. Il calcolo offre una previsione da verificare, non dati sperimentali già raccolti.

La stessa differenza si descrive come una misura nella base {|+⟩, |−⟩}. Il punto operativo è che una trasformazione finale può convertire una differenza di fase relativa in una differenza nelle frequenze degli esiti. L’assenza di contrasto in una singola base di lettura non dimostra l’identità degli stati.

Operatori diversi, ma lo stesso stato fisico?

Esiste una cautela ulteriore. Due vettori che differiscono soltanto per una fase globale, |φ⟩ ed e^iχ|φ⟩, rappresentano lo stesso stato puro del sistema isolato. Ogni probabilità di misura è identica. Perciò UV ≠ VU non garantisce che i due ordini producano sempre stati fisicamente distinguibili.

Introduciamo X, definito da X|0⟩ = |1⟩ e X|1⟩ = |0⟩. Dalle azioni di X e Z si verifica, su entrambi i vettori di base, che:

XZ = −ZX; dunque [X, Z] = 2XZ ≠ 0.

Eppure XZ|ψ⟩ e ZX|ψ⟩ differiscono soltanto per un segno globale per qualsiasi ingresso |ψ⟩. Se applichiamo le due sequenze al solo sistema e misuriamo soltanto quello, non possiamo distinguerle. Per uno stato descritto dalla matrice di densità ρ, il segno si cancella esattamente:

(XZ)ρ(XZ)† = (ZX)ρ(ZX)†.

Il simbolo † indica l’aggiunto. Questo esempio separa la non-commutatività delle matrici dalla distinguibilità delle trasformazioni sul sistema. Una fase può diventare relativa in un esperimento più ampio con un ramo di riferimento controllato; tale protocollo deve però essere specificato e non coincide con il semplice scambio di due operazioni sul qubit isolato.

Il commutatore come primo contributo dell’ordine

Per collegare il calcolo alle trasformazioni continue, consideriamo due generatori autoaggiunti e adimensionali A e B in dimensione finita. Poniamo U(ε) = exp(−iεA) e V(δ) = exp(−iδB), con ε e δ piccoli parametri reali. Espandendo gli esponenziali, i termini lineari coincidono nei due ordini; la prima differenza mista è:

VU − UV = εδ[A, B] + O(ε²δ, εδ²).

Il resto raccoglie contributi di ordine superiore per ε e δ vicini a zero. Il segno scritto corrisponde esattamente alla differenza VU − UV e alle convenzioni appena definite. Il commutatore governa quindi il primo scarto fra le due successioni infinitesime. Non sostituisce, in generale, il calcolo completo degli esponenziali per trasformazioni finite.

Se A e B commutano, i loro esponenziali commutano per tutti i parametri. Se non commutano, esistono piccoli parametri per i quali i prodotti differiscono, ma particolari valori finiti possono comunque dare coincidenze. Occorre inoltre controllare se la differenza produce stati distinti o soltanto una fase globale.

Una proprietà che non scompare cambiando coordinate

La non-commutatività non dipende dalla scelta della base. Con un cambiamento unitario W, le matrici diventano A′ = W†AW e B′ = W†BW. Il loro commutatore soddisfa:

[A′, B′] = W†[A, B]W.

Un operatore non nullo non può diventare nullo mediante questa trasformazione invertibile. Cambia la rappresentazione numerica; rimane la relazione fra le operazioni.

La dipendenza dall’ordine compare anche nelle rotazioni ordinarie attorno ad assi differenti: non è, da sola, una prova di comportamento quantistico. Nel caso studiato, il contenuto quantistico nasce dalla descrizione delle ampiezze complesse, dalle trasformazioni unitarie e dalla regola probabilistica della lettura. Il criterio completo consiste nel fissare preparazione, successione e misura finale: soltanto allora possiamo stabilire quale differenza algebrica diventi una differenza osservabile.