📌 Operatori e osservabili: spettro discreto e continuo

Una particella, uno spettro per ogni osservabile

La parola «quanto» può suggerire un mondo nel quale ogni grandezza procede per gradini. La meccanica quantistica descrive una situazione più articolata: alcune osservabili hanno valori separati, altre ammettono intervalli continui. Per distinguere i due casi bisogna specificare quale grandezza misuriamo e quale operatore, con il suo dominio, la rappresenta.

Una stessa particella può avere energia discreta e posizione continua. Costruiremo un esempio di questo tipo, abbastanza semplice da esplorare senza conoscere il calcolo degli operatori. Il confronto permetterà anche di separare tre oggetti: lo spettro dell’osservabile, la distribuzione assegnata dallo stato e il registro prodotto dallo strumento.

Che cosa aggiunge la nozione di spettro

Per una matrice autoaggiunta a dimensione finita, lo spettro coincide con l’insieme degli autovalori: i numeri a per cui esiste un vettore non nullo u tale che Au = au. Passando a spazi di dimensione infinita, lo spettro può contenere anche valori ai quali non corrisponde alcun autovettore normalizzabile.

La definizione generale considera A − λI. Un numero λ è fuori dallo spettro quando questo operatore possiede un’inversa limitata definita su tutto lo spazio di Hilbert. I valori che non soddisfano tale requisito appartengono allo spettro. Per le osservabili autoaggiunte lo spettro è reale.

Non occorre applicare questa definizione astratta per utilizzare il laboratorio. Il suo significato è però decisivo: cercare soltanto normali autovettori non basta a trovare tutti i valori spettrali. Negli esempi discreti qui discussi, gli autovalori sono isolati e hanno autostati normalizzabili. Nella terminologia specialistica «spettro puntuale», cioè l’insieme di tutti gli autovalori, e «spettro discreto» non sono sinonimi universali.

Due pareti che selezionano le energie

Consideriamo una particella di massa m confinata lungo un segmento di lunghezza L. Fra le pareti il potenziale è zero; le pareti sono idealmente impenetrabili. Il modello prende il nome di pozzo infinito unidimensionale. Non descrive pareti materiali di altezza infinita: rappresenta un limite matematico utile per isolare l’effetto del confinamento.

L’Hamiltoniano all’interno agisce come Hψ = −ℏ²ψ″/(2m), con condizioni al contorno ψ(0) = ψ(L) = 0. Le soluzioni stazionarie normalizzate e le energie sono:

ψₙ(x) = √(2/L) sin(nπx/L); Eₙ = n²π²ℏ²/(2mL²), con n = 1, 2, 3, …

Le condizioni alle due pareti ammettono un numero intero di mezze lunghezze d’onda. Il valore n = 0 darebbe la funzione nulla, che non rappresenta uno stato. Definendo E₁ = π²ℏ²/(2mL²), i livelli diventano E₁, 4E₁, 9E₁, 16E₁ e così via. Sono discreti, infiniti e non equidistanti.

Se l’energia è misurata su copie preparate nel solo stato ψ₂, il risultato ideale è sempre 4E₁. Il fatto di non registrare E₁ non lo elimina dallo spettro: quel livello resta ammesso dall’Hamiltoniano, ma la preparazione scelta gli assegna probabilità zero.

La posizione resta continua nello stesso sistema

Misuriamo ora la posizione sulle copie preparate allo stesso modo. Lo spazio degli stati è L²(0,L); l’operatore posizione moltiplica la funzione d’onda per x. Il suo spettro è l’intervallo chiuso [0,L]. Non compare una lista di posizioni associate ai numeri n delle energie.

Per il livello n, la densità della posizione è |ψₙ(x)|² = (2/L) sin²(nπx/L). La probabilità di un intervallo si ottiene integrando questa densità. Una posizione esatta non è rappresentata da un autovettore ordinario di L²; la notazione ideale |x⟩ usa autostati generalizzati, già introdotti nello studio dello spazio di Hilbert.

La chiusura [0,L] include le pareti nello spettro, ma non assegna loro una probabilità puntuale positiva. La probabilità di ogni singolo punto è zero per queste distribuzioni. Questo vale anche per i punti interni dove la densità è positiva: un integrale su un insieme di lunghezza nulla resta zero.

Non c’è contraddizione con il fatto che ogni prova fornisca un risultato. Un intervallo continuo contiene un’infinità non numerabile di valori: la sua probabilità non si calcola sommando le probabilità dei punti come se fossero un elenco discreto. Uno strumento reale registra inoltre un intervallo di risoluzione finita.

Un confronto con numeri leggibili

Per eliminare unità e costanti dal grafico usiamo u = x/L: la parete sinistra è u = 0, quella destra u = 1. La densità rispetto a u è fₙ(u) = 2 sin²(nπu). Non è una probabilità puntuale: la probabilità è l’area sotto la curva fra due valori.

Scegliamo la fascia centrale, da u = 0,40 a u = 0,60. La probabilità nel livello n si calcola con:

Pₙ([a,b]) = (b − a) − [sin(2nπb) − sin(2nπa)]/(2nπ).

La formula deriva direttamente dall’integrale di 2 sin²(nπu). Per n = 1 restituisce circa 38,71%; per n = 2 circa 4,86%. Nel secondo livello la funzione d’onda ha un nodo al centro: la fascia scelta raccoglie quindi molta meno probabilità. Questa differenza riguarda lo stato, mentre lo spettro della posizione rimane [0,L] in entrambi i casi.

L’ultima riga descrive una miscela statistica: ogni copia viene preparata al livello 1 oppure al livello 2, con uguale probabilità. Le densità si mediano e la probabilità della fascia è la media dei due valori precedenti. Non stiamo preparando una sovrapposizione coerente: quella richiederebbe anche la fase relativa e produrrebbe, in generale, termini di interferenza.

La media dell’energia della miscela è 2,5E₁. Nessuna singola misura ideale dell’energia fornisce però 2,5E₁: nella preparazione scelta si registrano soltanto E₁ e 4E₁. Un valore medio può dunque cadere fuori dallo spettro senza introdurre un nuovo livello energetico.

Come usare il laboratorio

Il banco interattivo parte dalla miscela delle due preparazioni. Un pulsante esegue una prova per ciascuna osservabile; un altro ne esegue cento. Le misure di energia e posizione riguardano insiemi distinti di copie, preparate con la stessa regola. Non rappresentano due misure successive sulla medesima particella.

Il grafico dell’energia mostra i primi quattro livelli, alle loro distanze corrette. Quello della posizione affianca la densità prevista ai conteggi raggruppati. Cambiando il numero di contenitori dell’istogramma, le stesse posizioni vengono ripartite fra fasce più strette o più larghe: non si modifica l’operatore posizione.

Questa prova aggiunge un controllo al semplice confronto visivo. Con sedici contenitori vediamo sedici categorie nel registro, ma il modello continua a generare coordinate lungo l’intervallo. I contenitori discretizzano la rappresentazione dei risultati; non trasformano il continuo fisico assunto dal modello in una sequenza di siti.

I cursori permettono di scegliere una fascia e leggere sia la probabilità esatta del modello sia la frequenza della serie simulata. Cambiare fascia o contenitori conserva le prove; cambiare preparazione le azzera. In questo modo ogni confronto statistico resta associato a condizioni definite.

Quando discreto e continuo convivono nello spettro dell’energia

Nel pozzo infinito l’energia ha soltanto livelli discreti. Rendendo il pozzo di profondità finita e lasciando spazio libero all’esterno, possono comparire sia livelli legati discreti sia un continuo di energie di diffusione. Ponendo a zero il potenziale lontano dal pozzo, gli stati legati del comune pozzo attrattivo hanno energie negative; il continuo inizia a zero.

Non basta dunque pronunciare la parola «energia» per conoscere la forma dello spettro. Servono il potenziale, il dominio spaziale e le condizioni al contorno. Anche «discreto» non significa «equidistante»: i livelli del pozzo infinito crescono come n².

Che cosa il grafico consente di concludere

Il laboratorio è una simulazione classica delle probabilità di un modello quantistico ideale. I valori numerici delle fasce sono deduzioni delle formule, non misure di laboratorio. La precisione finita del computer e i punti usati per disegnare la curva non costituiscono ipotesi sulla granularità dello spazio.

Nel confronto con un apparato reale, una successione di picchi può essere allargata dalla risposta del rivelatore; livelli molto vicini possono restare irrisolti. Viceversa, una distribuzione continua può essere registrata in pochi canali. La forma del registro va confrontata con un modello dello strumento prima di attribuirla allo spettro dell’osservabile.

Il criterio acquisito è operativo: l’operatore stabilisce la struttura spettrale; la preparazione assegna i pesi; il sistema di lettura raggruppa e risolve i risultati. La particella fra due pareti permette di verificare queste tre funzioni senza confonderle: livelli separati nell’energia, intervalli continui nella posizione e conteggi finiti sullo schermo.