📌 Origine matematica dell’indeterminazione

Due pacchetti d’onda possono avere la stessa distribuzione delle posizioni e distribuzioni degli impulsi differenti. Basta cambiare una parte della fase che non compare nel modulo quadro della funzione d’onda. Questo esempio permette di seguire l’origine matematica dell’indeterminazione oltre il solo prodotto delle dispersioni: occorre considerare anche come le fluttuazioni delle due osservabili sono correlate nello stato.

Il prodotto interno contiene due informazioni

Consideriamo uno stato puro normalizzato |ψ⟩ e due osservabili autoaggiunte A e B. Indichiamo con δA = A − ⟨A⟩I e δB = B − ⟨B⟩I gli operatori centrati. Le norme dei vettori δA|ψ⟩ e δB|ψ⟩ sono le deviazioni standard ΔA e ΔB. Assumiamo momenti secondi finiti e, per scrivere i prodotti seguenti, uno stato nei domini necessari.

Il loro prodotto interno è generalmente complesso. La sua parte reale e quella immaginaria hanno ruoli diversi:

⟨δA δB⟩ = C_AB + ⟨[A, B]⟩/2.

Qui C_AB = ½⟨δA δB + δB δA⟩ è la covarianza simmetrizzata , reale; il valore atteso del commutatore è puramente immaginario. Per osservabili non commutanti, ⟨δA δB⟩ non è quindi una covarianza reale ordinaria. La simmetrizzazione seleziona precisamente la sua parte reale.

Il passaggio che rende più forte il limite

Cauchy–Schwarz applicata ai due vettori impone (ΔA)² (ΔB)² ≥ |⟨δA δB⟩|². Per un numero complesso, il modulo quadro è la somma dei quadrati della parte reale e di quella immaginaria. Conservando entrambe si ottiene la relazione di Schrödinger–Robertson:

(ΔA)² (ΔB)² ≥ C_AB² + ¼|⟨[A, B]⟩|².

Eliminare il termine non negativo C_AB² restituisce il limite di Robertson. Quest’ultimo resta corretto, ma può non essere raggiungibile con le correlazioni specificate. La relazione completa mostra quale informazione viene persa quando si conserva soltanto il commutatore.

Il vincolo nasce da un prodotto interno positivo: i due vettori delle fluttuazioni non possono avere un prodotto interno arbitrariamente grande rispetto alle proprie norme. L’algebra delle osservabili determina la componente immaginaria; la preparazione determina anche quella reale. Non viene introdotto alcun modello di interazione con uno strumento.

Quando una disuguaglianza diventa uguaglianza

Se ΔA è diversa da zero, Cauchy–Schwarz è saturata esattamente quando i vettori delle fluttuazioni sono linearmente dipendenti:

δB|ψ⟩ = c δA|ψ⟩, con c complesso.

In questo caso C_AB = Re(c)(ΔA)², mentre la parte immaginaria di c è fissata dal valore atteso del commutatore. Saturare la relazione completa non richiede dunque covarianza nulla. Per saturare anche il limite più debole di Robertson, invece, occorre che C_AB = 0.

I casi con una dispersione nulla vanno trattati separatamente: uno dei vettori è nullo e non si può dividere per la sua norma. Per posizione e impulso sulla retta, gli autostati esatti delle singole osservabili non sono funzioni d’onda normalizzabili; non appartengono alla famiglia di pacchetti con dispersioni finite studiata qui.

Un pacchetto con la stessa densità e una fase diversa

Fissiamo una lunghezza s > 0 e un parametro reale adimensionale κ. Sulla retta prendiamo:

ψ(x) = (2πs²)^−1/4 exp[−(1 − iκ)x²/(4s²)].

La densità di probabilità è |ψ(x)|² = (√(2π)s)⁻¹ exp[−x²/(2s²)]. È una gaussiana centrata in zero con deviazione standard s. Il parametro κ compare soltanto nella fase quadratica κx²/(4s²): variarlo lascia invariata tutta la distribuzione delle posizioni.

Usando p = −iℏ d/dx e derivando l’esponenziale troviamo:

pψ = ℏ(κ + i)xψ/(2s²).

La media di x è zero per simmetria e anche ⟨p⟩ = 0. L’azione di p sullo stato è un multiplo complesso dell’azione di x: è proprio la dipendenza lineare richiesta per l’uguaglianza. Dalla norma del vettore pψ e dalla parte reale di ⟨xp⟩ seguono:

• Δx = s;
• Δp = ℏ√(1 + κ²)/(2s);
• C_xp = ℏκ/2.

La dispersione dell’impulso aumenta con |κ| anche se quella della posizione non cambia. Per tutti questi stati il commutatore rimane [x, p] = iℏI: ciò che cambia è la preparazione, non l’algebra.

Un prodotto maggiore del minimo può saturare il limite completo

Moltiplicando le dispersioni e sottraendo il quadrato della covarianza otteniamo due risultati distinti:

Δx Δp = (ℏ/2)√(1 + κ²);
(Δx)² (Δp)² − C_xp² = ℏ²/4.

Per κ = 0 il prodotto vale ℏ/2 e le due relazioni sono entrambe saturate. Per κ = 2 il prodotto vale √5 ℏ/2, circa 1,118 ℏ: supera il limite di Robertson, ma soddisfa ancora con uguaglianza la relazione completa, perché C_xp = ℏ. Non c’è una violazione né un errore numerico: il termine di covarianza spiega esattamente la differenza.

Cambiare il segno di κ inverte il segno della covarianza senza modificare Δx o Δp. Le due distribuzioni marginali, considerate da sole, non permettono quindi di ricostruire il segno della correlazione. Il coefficiente normalizzato r = C_xp/(Δx Δp) vale κ/√(1 + κ²), sempre compreso fra −1 e 1.

La geometria della matrice di covarianza

Raccogliamo i secondi momenti nella matrice reale simmetrica V, con elementi V₁₁ = (Δx)², V₂₂ = (Δp)² e V₁₂ = V₂₁ = C_xp. Per la coppia canonica la relazione completa equivale a det V ≥ ℏ²/4 .

Per rappresentarla senza mescolare unità differenti scegliamo una lunghezza di riferimento ℓ e usiamo Q = x/ℓ e P = ℓp/ℏ, così che [Q, P] = iI. Ponendo a = s/ℓ, gli elementi della matrice adimensionale sono a², (1 + κ²)/(4a²) e κ/2. Il determinante è 1/4 per ogni pacchetto della famiglia.

L’ellisse definita da z^TV⁻¹z = 1, con z = (Q,P), visualizza questi secondi momenti. La sua area è π√(det V), dunque π/2 in queste unità. Le proiezioni sugli assi hanno semiampiezze ΔQ e ΔP: il rettangolo che la contiene può allargarsi anche mentre l’area dell’ellisse resta costante.

È un’ellisse di covarianza, non una traiettoria e non il luogo in cui una particella possiede contemporaneamente posizione e impulso già assegnati. La densità di Wigner di questi particolari stati gaussiani è positiva e ne condivide i contorni ellittici; ciò non trasforma le due osservabili in grandezze con una misura congiunta ideale priva di ulteriori vincoli. Per stati generici, inoltre, la funzione di Wigner può assumere valori negativi.

Come ricavare una covarianza senza misurare due valori insieme

Una possibile ricostruzione usa insiemi distinti di sistemi preparati nello stesso stato. Si misurano Q, P e una terza osservabile R = (Q + P)/√2 su tre insiemi separati. Quando i momenti esistono, la varianza della terza osservabile soddisfa:

(ΔR)² = ½[(ΔQ)² + (ΔP)² + 2C_QP].

Conoscendo le tre varianze si ricava C_QP = (ΔR)² − ½[(ΔQ)² + (ΔP)²]. È una relazione fra statistiche di preparazioni identiche, non una procedura che legge simultaneamente Q e P sullo stesso esemplare. L’implementazione fisica della lettura di R dipende dal sistema sperimentale; il calcolo ne specifica l’osservabile, non un apparato universale.

Esplorare il limite nel laboratorio interattivo

Il laboratorio permette di variare a, la larghezza adimensionale, e κ, la fase quadratica. A κ fisso, ridurre a restringe la distribuzione di Q e allarga quella di P. Ad a fisso, aumentare |κ| lascia invariata la prima distribuzione e allarga la seconda; l’ellisse si inclina e la covarianza cresce in modulo.

Confronta κ = 0, κ = 2 e κ = −2. Gli ultimi due casi hanno le stesse dispersioni e covarianze opposte. Il determinante rimane 1/4: tutti appartengono alla famiglia gaussiana pura che satura la relazione completa. I grafici mostrano densità analitiche ideali; non sono dati raccolti da un dispositivo quantistico.

L’origine matematica dell’indeterminazione si precisa così in due passaggi: la positività del prodotto interno limita i momenti possibili, mentre la non-commutatività impedisce che il determinante della covarianza canonica scenda sotto una soglia positiva. Il solo prodotto Δx Δp non descrive tutta la struttura: per capire quando il limite è raggiunto bisogna conservare anche le correlazioni.